Презентация Геометрическая прогрессия: решение задач

Сегодня мы начнем с основ и разберем, что такое геометрическая прогрессия. Это последовательность чисел, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число, которое называется знаменателем прогрессии. Давайте рассмотрим это на простом примере, чтобы лучше понять, как это работает.

Сегодня мы рассмотрим формулу геометрической прогрессии, которая позволяет нам найти любой член этой прогрессии. Формула выглядит следующим образом: a_n = a_1 * q^(n-1). Здесь a_1 — это первый член прогрессии, а q — знаменатель прогрессии. Эта формула очень важна, так как она помогает нам быстро и точно определить любой член прогрессии, зная только первый член и знаменатель.

Сегодня мы рассмотрим пример нахождения n-го члена геометрической прогрессии. В данном случае нам нужно найти 5-й член прогрессии, если первый член равен 2, а знаменатель прогрессии равен 3. Для этого мы воспользуемся формулой для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: a_n = a_1 * q^(n-1). Подставив известные значения, мы получим a_5 = 2 * 3^(5-1) = 2 * 81 = 162. Таким образом, 5-й член прогрессии равен 162.

Сегодня мы рассмотрим, как найти сумму первых n членов геометрической прогрессии. Это важный навык, который поможет вам решать различные задачи в математике. Формула для нахождения суммы первых n членов выглядит следующим образом: S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q), где q не равно 1. Давайте разберемся, как эта формула работает и как ее можно применить на практике.

На этом слайде мы рассмотрим еще один пример решения задачи на геометрическую прогрессию. Нам нужно найти сумму первых четырех членов прогрессии, если первый член равен 1, а знаменатель прогрессии равен 2. Для этого мы воспользуемся формулой суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q). Подставив значения a_1 = 1, q = 2 и n = 4 в формулу, мы получим S_4 = 1 * (1 - 2^4) / (1 - 2) = 1 * (1 - 16) / (-1) = 15. Таким образом, сумма первых четырех членов данной прогрессии равна 15.

На этом слайде мы рассмотрим понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если модуль знаменателя прогрессии меньше 1, то такая прогрессия называется бесконечно убывающей. Важно отметить, что сумма такой прогрессии может быть вычислена по специальной формуле: S = a_1 / (1 - q). Эта формула позволяет нам найти сумму бесконечного числа членов прогрессии, что является важным инструментом в математике. Давайте рассмотрим это на конкретном примере, чтобы лучше понять, как работает эта формула.

На этом слайде мы рассмотрим пример решения задачи на нахождение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. У нас есть первый член прогрессии, который равен 3, и знаменатель, равный 0.5. Для нахождения суммы бесконечно убывающей прогрессии мы используем формулу S = a_1 / (1 - q). Подставляем известные значения: S = 3 / (1 - 0.5) = 3 / 0.5 = 6. Таким образом, сумма данной прогрессии равна 6.

Итак, ребята, сегодня мы с вами будем решать задачи на геометрическую прогрессию. Давайте рассмотрим первую задачу: нахождение знаменателя прогрессии. У нас есть геометрическая прогрессия, где первый член равен 4, а третий член равен 16. Нам нужно найти знаменатель этой прогрессии. Для этого мы воспользуемся формулой для третьего члена прогрессии: a_3 = a_1 * q^2. Подставим известные значения: 16 = 4 * q^2. Теперь решим это уравнение: 16 = 4 * q^2, разделим обе части на 4, получим 4 = q^2. Извлекаем квадратный корень из 4, и получаем q = 2. Таким образом, знаменатель нашей геометрической прогрессии равен 2.

Сегодня мы продолжим изучение геометрической прогрессии и рассмотрим еще одну задачу. На этом слайде вам предлагается найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. Дано, что первый член прогрессии равен 2, а знаменатель прогрессии равен 1.5. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q). В нашем случае n = 5, a_1 = 2, q = 1.5. Подставим эти значения в формулу и вычислим сумму. Таким образом, S_5 = 2 * (1 - 1.5^5) / (1 - 1.5). Давайте проведем вычисления и найдем ответ.

Итак, ребята, сейчас мы рассмотрим еще одну задачу на геометрическую прогрессию. На этот раз нас просят найти сумму бесконечно убывающей прогрессии. Давайте вспомним, что такое бесконечно убывающая прогрессия. Это такая прогрессия, у которой знаменатель меньше единицы, то есть |q| < 1. В нашей задаче первый член прогрессии a_1 равен 6, а знаменатель q равен 0.2. Для нахождения суммы бесконечно убывающей прогрессии мы используем формулу S = a_1 / (1 - q). Подставим наши значения в формулу: S = 6 / (1 - 0.2). Давайте вычислим это вместе. Сначала вычтем 0.2 из 1, получим 0.8. Теперь разделим 6 на 0.8, и получим 7.5. Итак, сумма нашей бесконечно убывающей прогрессии равна 7.5.

Сегодня мы рассмотрим задачу на нахождение первого члена геометрической прогрессии. У нас есть данные: четвертый член прогрессии равен 27, а знаменатель прогрессии — 3. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу для четвертого члена геометрической прогрессии: a_4 = a_1 * q^3. Подставив известные значения, мы получим уравнение 27 = a_1 * 27. Решая это уравнение, мы найдем, что первый член прогрессии a_1 равен 1.

Итак, ребята, сейчас мы рассмотрим еще одну задачу на геометрическую прогрессию. Нам нужно найти 6-й член прогрессии, если первый член равен 5, а знаменатель прогрессии равен 2. Для этого мы будем использовать формулу для нахождения n-го члена геометрической прогрессии: a_n = a_1 * q^(n-1). В нашем случае, a_1 = 5, q = 2, и n = 6. Подставляем эти значения в формулу и получаем: a_6 = 5 * 2^(6-1). Давайте вычислим это вместе.

Сегодня мы рассмотрим задачу на нахождение суммы первых 7 членов геометрической прогрессии. У нас есть первый член прогрессии, который равен 3, и знаменатель, равный 1.2. Для решения этой задачи мы будем использовать формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q). В нашем случае n = 7, a_1 = 3, q = 1.2. Подставляем эти значения в формулу и выполняем вычисления. Таким образом, мы найдем сумму первых 7 членов прогрессии.

Итак, ребята, сейчас мы рассмотрим еще одну задачу на геометрическую прогрессию. На этот раз нас просят найти сумму бесконечно убывающей прогрессии. Давайте вспомним, что такое бесконечно убывающая прогрессия. Это такая прогрессия, у которой знаменатель меньше единицы, то есть 0 < q < 1. В нашей задаче первый член прогрессии a_1 равен 8, а знаменатель q равен 0.4. Для нахождения суммы бесконечно убывающей прогрессии мы используем формулу S = a_1 / (1 - q). Подставим наши значения в формулу: S = 8 / (1 - 0.4). Давайте вычислим это вместе. Сначала вычтем 0.4 из 1, получим 0.6. Теперь разделим 8 на 0.6, и получим 13.33. Итак, сумма нашей бесконечно убывающей прогрессии равна 13.33.

Сегодня мы рассмотрим задачу на нахождение знаменателя геометрической прогрессии. У нас есть первый член прогрессии, равный 7, и пятый член, равный 567. Наша задача — найти знаменатель q. Для этого мы используем формулу для пятого члена прогрессии: a_5 = a_1 * q^4. Подставляем известные значения: 567 = 7 * q^4. Чтобы найти q, делим обе части уравнения на 7, получаем 81 = q^4. Извлекаем корень четвертой степени из 81, и получаем q = 3. Таким образом, знаменатель нашей геометрической прогрессии равен 3.

Итак, ребята, сейчас мы рассмотрим еще одну задачу на геометрическую прогрессию. Нам нужно найти сумму первых 6 членов прогрессии, если первый член равен 4, а знаменатель прогрессии — 1.5. Для этого мы будем использовать формулу суммы первых n членов геометрической прогрессии: S_n = a_1 * (1 - q^n) / (1 - q). В нашем случае n = 6, a_1 = 4, q = 1.5. Подставляем эти значения в формулу и вычисляем: S_6 = 4 * (1 - 1.5^6) / (1 - 1.5). Давайте проделаем эти вычисления вместе, чтобы убедиться в правильности нашего решения.

Сегодня мы с вами погрузились в мир геометрической прогрессии. Мы начали с основных понятий, таких как первый член прогрессии и знаменатель. Затем мы рассмотрели ключевые формулы, которые помогают нам найти любой член прогрессии, сумму первых n членов и даже сумму бесконечно убывающей прогрессии. Для закрепления материала мы решили несколько задач, где применили эти формулы на практике. Надеюсь, что после сегодняшнего урока вы чувствуете себя более уверенно в этой теме. Спасибо за внимание!